OTO - Ohshima Tamashima Observatory- - magunitudes&LinearScale Diff
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!!疑問
等級は、-2.5*log( )というような係数がかかった対数表示なのに、上記のような言い方をしてよいのだろうか。
!!結論
0.1等以下なら、数字が小さいほど、かなり良い精度で近似できる
!!理由
まず等級の定義から考える。
[$ dm = m2-m1 = -2.5*log_10(C1/C2) $]
ここで、カウント数C２がC１に近い値の時の近似式を求める。
0 < ｘ＜１であるようなｘを用いると
C2=C1(1+x)
と書くとすると、元の等級の式は
dm =-2.5*log_10((1+x)C1/C1)-2.5*log_10(C1/C1(1+x))
=-2.5*log_10(1+x)2.5*log_10(1+x)
常用対数を自然対数に変換すると
ln(1+x)
dm =-2.5*-----------2.5*-----------
ln(10)
-2.52.5
= -------*ln(1+x)
ln(10)
-2.52.5
= -------*ln(1+x)
2.303
= 1.086*ln(1+x)
ここで自然対数部分を級数展開すると
x^2 x^3 x^4
ln(1+x) = x - --- + --- - --- + - - -
2 3 4
のように表せるので、等級の元の式は
x^2 x^3 x^4
dm = 1.086*( x- --- + --- - --- + - - - )
2 3 4
と書ける。これは、ｘが小さい時には、
��ｍ＝ｘ
と書いてよいことを示している。
最初の問いに戻ると
５％の光度差 は厳密に等級に直すと 0.05297･･･であるから
概算の場合は0.05と等と言ってよいことがわかる。
上の議論で、符号に誤りがあったことに今頃気付いたので訂正しました（2015.7.21）。
----
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等級は、-2.5*log( )というような係数がかかった対数表示なのに、上記のような言い方をしてよいのだろうか。
!!結論
0.1等以下なら、数字が小さいほど、かなり良い精度で近似できる
!!理由
まず等級の定義から考える。
ここで、カウント数C２がC１に近い値の時の近似式を求める。
0 < ｘ＜１であるようなｘを用いると
C2=C1(1+x)
と書くとすると、元の等級の式は
dm =
=
常用対数を自然対数に変換すると
ln(1+x)
dm =
ln(10)
= -------*ln(1+x)
ln(10)
= -------*ln(1+x)
2.303
= 1.086*ln(1+x)
ここで自然対数部分を級数展開すると
x^2 x^3 x^4
ln(1+x) = x - --- + --- - --- + - - -
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のように表せるので、等級の元の式は
x^2 x^3 x^4
dm = 1.086*( x- --- + --- - --- + - - - )
2 3 4
と書ける。これは、ｘが小さい時には、
��ｍ＝ｘ
と書いてよいことを示している。
最初の問いに戻ると
５％の光度差 は厳密に等級に直すと 0.05297･･･であるから
概算の場合は0.05
上の議論で、符号に誤りがあったことに今頃気付いたので訂正しました（2015.7.21）。
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