「５％は、等級で表しても０．０５等」と言って良いか
疑問
等級は、-2.5*log( )というような係数がかかった対数表示なのに、上記のような言い方をしてよいのだろうか。
結論
0.1等以下なら、数字が小さいほど、かなり良い精度で近似できる
理由
まず等級の定義から考える。
dm = m2-m1 = -2.5*log_10(C1/C2)
ここで、カウント数C２がC１に近い値の時の近似式を求める。 0 < ｘ＜１であるようなｘを用いると
C2=C1(1+x)
と書くとすると、元の等級の式は
dm = -2.5*log_10(C1/C1(1+x))
= 2.5*log_10(1+x)
常用対数を自然対数に変換すると
ln(1+x)
dm = 2.5*-----------
ln(10)
2.5
= -------*ln(1+x)
ln(10)
2.5
= -------*ln(1+x)
2.303
= 1.086*ln(1+x)
ここで自然対数部分を級数展開すると
x^2 x^3 x^4
ln(1+x) = x - --- + --- - --- + - - -
2 3 4
のように表せるので、等級の元の式は
x^2 x^3 x^4
dm = 1.086*( x- --- + --- - --- + - - - )
2 3 4
と書ける。これは、ｘが小さい時には、
��ｍ＝ｘ
と書いてよいことを示している。
最初の問いに戻ると ５％の光度差 は厳密に等級に直すと 0.05297･･･であるから 概算の場合は0.05等と言ってよいことがわかる。
上の議論で、符号に誤りがあったことに今頃気付いたので訂正しました（2015.7.21）。
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