「５％は、等級で表しても0.05等」と言って良いか

 

疑問

等級は、-2.5*log( )というような係数がかかった対数表示なのに、上記のような言い方をしてよいのだろうか。

 

結論

　0.1等以下なら、数字が小さいほど、かなり良い精度で近似できる

 

理由

まず等級の定義から考える。

 

　　　　　dm　=　m2-m1　=　-2.5*log_10(C1/C2)

 

ここで、カウント数C２がC１に近い値の時の近似式を求める。

ｘ＜１であるようなｘを用いると

 

　　　C2=C1(1+x)

 

と書くとすると、元の等級の式は

 

      dm　=　-2.5*log_10((1+x)C1/C1)

 

        　=　-2.5*log_10(1+x)

 

常用対数を自然対数に変換すると

 

              ln(1+x) 

       dm　=　-2.5*-----------

              ln(10)

     

            -2.5

       　= -------*ln(1+x)

            ln(10)

 

            -2.5

       　= -------*ln(1+x)

            2.303

 

       = 1.086*ln(1+x)

 

ここで自然対数部分を級数展開すると

 

                x^2   x^3   x^4

  ln(1+x) = x - --- + --- - --- + - - - 

                 2     3     4

 

のように表せるので、等級の元の式は

 

                   x^2   x^3   x^4

  dm = 1.086*( x- --- + --- - --- + - - -   )

                   2     3     4

　

と書ける。これは、ｘが小さい時には、

 

　　　　��ｍ＝ｘ

 

と書いてよいことを示している。

 

最初の問いに戻ると

５％の光度差 は厳密に等級に直すと　0.05297･･･であるから

概算の場合は0.05と言ってよいことがわかる。